Gerak Harmonik Sederhana (Osilasi) - Kalau
benda bermassa di ujung pegas kita tarik sejauh A lalu kita lepas apa
yang terjadi? Benda tadi akan ditarik gaya pegas melewati x = 0 lalu
menuju ke A negatif, benda akan berbalik arah di x = -A dan kembali
melewati x = 0 lalu ke x = A dan berbalik arah. Bila dasar yang
digunakan untuk meletakkan pegas dan massa adalah permukaan yang licin,
maka massa akan bergerak bolak-balik tanpa berhenti atau dapat dikatakan
benda berosilasi. Jarak sejauh A disebut sebagai amplitudo atau
simpangan maksimum benda,titik x = 0 disebut titik kesetimbangan, arah
gerakan selalu melewati titik kesetimbangan.
Waktu yang digunakan massa untuk melakukan satu osilasi disebut periode diberi simbol T. Banyaknya osilasi tiap detik diberi nama frekuensi dengan simbol f. Hubungan antara periode dan frekuensi adalah:
sehingga persamaannya menjadi:
Waktu yang digunakan massa untuk melakukan satu osilasi disebut periode diberi simbol T. Banyaknya osilasi tiap detik diberi nama frekuensi dengan simbol f. Hubungan antara periode dan frekuensi adalah:
f= 1/T
Gambar 3.9 Satu osilasi adalah gerak dari AOBOA, arah percepatan berlawanan dengan arah gerak
Dengan demikian, adalah frekuensi osilasi. Satu kali osilasi adalah
gerakan dari titik awal melewati titik keseimbangan ke simpangan
maksimum di ujung lain dan kembali ke titik awal dengan melewati titik
kesetimbangan. Sekarang kita akan meninjau gaya yang bekerja pada benda
bergerak karena dipengaruhi oleh gaya pegas, bagaimana percepatan dan
kecepatannya? Bukankah menurut hukum Newton gaya akan menyebabkan benda
mengalami percepatan? Kita bisa menuliskan gaya yang bekerja pada massa
yang terikat pada pegas sebagai berikut:
F = ma
F = -kx = ma
a = -(kx) / m ……….. (11)
Percepatan yang dialami benda berubah-ubah menurut posisinya. Kalian
bisa melihatnya dari persamaan (11), a bergantung pada x. Percepatannya
berbanding lurus dengan simpangan dan arahnya berlawanan dengan
simpangannya. Kalian lihat tanda pada persamaan (11) adalah minus,
bukan? Ini adalah sifat umum gerak harmonik sederhana. Percepatan adalah
turunan kedua posisi maka kita dapat menuliskan persamaan (11) menjadi
d2x / dt2 = -kx / m ……….. 12
Simpangan setiap saat atau posisi massa setiap saat yaitu x dapat dituliskan sebagai fungsi berikut
x= A cos (ωt + δ) ……….. 13
Cobalah masukkan fungsi persamaan (13) ke persamaan (12), anda akan
membuktikan bahwa persamaan (13) merupakan penyelesaian persamaan (12).
Persamaan (12) disebut juga persamaan diferensial. Fungsi tersebut
merupakan penyelesaian persamaan (12). Grafik posisi, kecepatan dan
percepatan massa di ujung pegas dapat dilihat pada Gambar (3.10), dengan
ω adalah frekuensi sudut =2πf , dan δ adalah konstanta fase, A adalah
amplitudo atau simpangan maksimum. Nilai ω adalah:
ω = √(k.m)
Kaitan antara frekuensi dan frekuensi sudut adalah:
ω = 2πf
Fungsi dapat berupa fungsi cosinus atau sinus tergantung pada di mana massa saat t = 0. Perhatikan gambar di bawah ini!
Gambar 3.10 Pegas pada keadaan diam
diberi gaya sesaat sehingga tertekan sejauh x cm. Maka saat mula-mula
simpangan pegas adalah 0, maka kita menggunakan fungsi Sinus. Jika
keadaan awal pegas kita tekan, kemudian kita lepaskan maka pada keadaan
awal simpangannya x cm, maka kita gunakan fungsi cosinus.
Bila mula-mula atau saat t = 0 massa kita simpangkan sejauh x, maka
fungsinya adalah fungsi cosinus. Ingatlah nilai cos 0 adalah 1, sehingga
simpangannya saat itu sebesar ampitudonya A. Bila saat mula-mula kita
pukul massa dengan gaya sesaat maka kita gunakan fungsi sinus. Ingatlah
nilai sin 0 adalah 0, atau berarti saat t = 0 simpangannya di x = 0.
Fungsi cosinus dapat juga dinyatakan sebagai fungsi sinus dengan
mengingat fungsi cos dan sin memiliki beda fase 90°.
x= A cos (ωt ) = A sin (ωt + 90)
Kecepatan partikel setiap saat dapat diperoleh dengan melakukan diferensiasi persamaan (11)
v = dx/dt = d( A cos (ωt+δ ))/dt = -ωA sin (ωt +δ )
Percepatan partikel setiap saat dapat diperoleh dengan melakukan diferensiasi kecepatan terhadap waktu
a = dv/dt = d(-ω A sin (ωt +δ))/dt = -ω2A cos (ωt +δ )
Gambar 3.11 Grafik posisi, kecepatan, dan percepatan suatu osilasi
Percepatan memiliki nilai maksimum sebesar Aω2 dan
kecepatan maksimum yang dapat dicapai adalah Aω. Kecepatan maksimum
tercapai pada saat benda berada pada posisi kesetimbangan atau x = 0,
kecepatan minimum terjadi pada simpangan maksimum. Besar percepatan
maksimun tercapai pada simpangan maksimum, dan percepatan minimum
terjadi pada posisi kesetimbangan.
Gambar 3.12 Bandul yang disimpangkan dengan sudut kecil kemudian dilepas.
Sistem massa dan pegas hanyalah salah satu contoh dari gerak harmonik
sederhana. Contoh gerak osilasi yang lain adalah bandul yang diayunkan
dengan simpangan kecil, perhatikan gerakan bandul dia akan bolak-balik
melewati titik tertentu yang tepat berada di bawah titik gantungnya.
Amplitudo osilasi adalah jarak tegak lurus dari titik kesetimbangan.
Komponen gaya gravitasi ke arah tangensial partikel menyebabkan terjadi
osilasi. Gaya ini selalu menuju ke titik setimbang. Persamaan pada sistem bandul:
F = -mg sinθ
Bila sudut θ kecil,sin θ @ ≈ θ ≈ s/lsehingga persamaannya menjadi:
F = -mgs/L
a = -g s/l
d2s/dt2 = -g s/L
maka persamaan diatas memiliki penyelesaian seperti persamaan (12) yaitu persamaan (13) dengan:
ω = √g/l
0 komentar:
Posting Komentar